带随机扰动的弱非线性振子链的非线性涨落

我们研究了一维非线性振子链中声子模式的涨落。该系统的确定性哈密顿动力学被随机最近邻粒子动量交换所扰动。存在三个局部守恒量：体积、动量和能量。我们研究了在声速 recenter 后，对两个声子模式（体积伸长与动量的线性组合）在扩散空间时间尺度上的涨落场演化。我们证明，随着尺度参数减弱非线性性，recenter 后的声子涨落场收敛于两个无耦合的随机布尔方程的平稳解。布尔方程中的非线性性源于非线性势中的三次项（对应于 $\alpha$-FPUT 动力学）。本证明的主要工具基于 Dynkin 的鞅分解紧致性论证，包括第二阶 Boltzmann-Gibbs 原理，以及能量均分原理来刻画非线性项，以及表明不同方向速度发散的场之间无相互作用的 Riemann-Lebesgue 估计。