若干 Lie 幂等元的树展开

我们证明，由 [Menous 等人, Adv. Appl. Math. 51 (2013), 177] 引入的 Catalan Lie 幂等元 $D_n(a,b)$ 可通过引入 $n$ 个独立参数 $a_0,\ldots,a_{n-1}$ 进行细化，且每个单项式的系数自身是 descent 代数中的一个 Lie 幂等元。这些新幂等元是 Lie 模的 Poincar\'e-Birkhoff-Witt 基的子集的无重数求和。这些结果通过将非交换对称函数嵌入对偶非交换 Connes-Kreimer 代数获得，该嵌入也使我们能以更简单的方式解释并重新推导 Chapoton 关于双参数树展开级数的结果。