有向树图 Lie 代数的上同调

Xu 引入了一族与演化偏微分方程相关的根树图幂零 Lie 代数。我们将其概念推广到更一般的有向树图。这些代数是有限维单 Lie 代数的极大幂零 Lie 子代数的自然类似物。本文使用 Hodge Laplace 算子研究这些 Lie 代数的上同调。证明了这些代数的“全秩猜想”与“$b_2$-猜想”。此外，对于与具有单分支点的特定树图相关的 Lie 代数，利用 Young 表求出了其 Betti 数的生成函数。通过这些函数与 Euler-Poincare 原理，我们得到了有限维单 Lie 代数分母恒等式的类似物。该结果是特殊线性 Lie 代数情形下 Bott 经典结果的自然推广。