随机矩阵、图形计数与Toda格的连续极限

本文导出了一族微分方程,唯一确定 $N \times N$ Hermitian随机矩阵配分函数对数在 $N$ 很大时渐近展开中的系数。这些系数是黎曼面上图形计数的生成函数。我们特别考虑底层测度与高斯权重相差一个次数为 $2\nu$ 的单一项的情形。该项的耦合参数在微分方程中扮演独立动力学变量的角色。由这些方程可推得渐近展开中系数的函数解析特征。此外,该常微分方程组可递归求解,将这些系数显式构造为耦合参数的函数。对渐近系数精细结构的分析可推广到多个耦合参数,我们给出了双参数情形的有限示例。