完备反 de Sitter 3-流形的体积

直至有限覆盖，闭反 de Sitter $3$-流形是 $\mathrm{SO}_0(2,1)$ 由 $\mathrm{SO}_0(2,1) \times \mathrm{SO}_0(2,1)$ 的离散子群模去的商，该子群形如 $$j\times \rho(\Gamma)~,$$ 其中 $\Gamma$ 是闭有向曲面的基本群，$j$ 是一个富克斯表示，$\rho$ 是另一个被 $j$ “严格支配”的表示。本文我们证明此类商的体积正比于 $j$ 与 $\rho$ 的欧拉类之和。作为推论，我们得到该体积在反 de Sitter 结构形变下保持不变。我们的结果推广到 $\mathrm{SO}_0(n,1)$ 被 $\mathrm{SO}_0(n,1) \times \mathrm{SO}_0(n,1)$ 的离散子群所取的商（不必紧致）。