紧致 Clifford-Klein 形式的体积与不存在性

本文研究约化齐性空间的紧商的体积。设 $G/H$ 为约化齐性空间，$\Gamma$ 为 $G$ 的离散子群，在 $G/H$ 上真不连续且余紧地作用。我们证明 $\Gamma \backslash G/H$ 的体积是 $\Gamma$ 的某同调类上 $G/K$ 上 $G$-不变形式（其中 $K$ 是 $G$ 的极大紧子群）的积分。作为推论，我们得到一大类其紧商具有有理体积的齐性空间。例如，常曲率 $-1$ 且奇维数的伪黎曼空间的紧商具有有理体积。这与黎曼情形形成对比。我们还导出了某些齐性空间存在紧致 Clifford–Klein 形式的新障碍。特别地，我们得到当 $p$ 为奇数时 $\mathrm{SO}(p,q+1)/\mathrm{SO}(p,q)$ 不容许紧商，且当 $m$ 为偶数时 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$ 不容许紧商。