Chern--Simons 理论、曲面可分性与 3-流形体积

我们研究了所有表示 $\rho\co\pi_1M\to G$ 的体积集合 ${\rm vol}\left(M,G\right)$，其中 $M$ 是闭定向 3-流形，$G$ 为 ${\rm Iso}_+{\Hi}^3$ 或 ${\rm Iso}_e\t{\rm SL_2(\R)}$。通过各种方法，包括表示体积与平坦联络 Chern--Simons 不变量之间的关系，以及关于 3-流形中曲面的最新结果，我们证明了任何具有正 Gromov 单纯体积的 3-流形 $M$ 都存在一个有限覆盖 $\t M$，使得 ${\rm vol}(\t M,{\rm Iso}_+{\Hi}^3)\ne \{0\}$；并且任何包含至少一个 Seifert 块的非几何 3-流形 $M$ 都存在一个有限覆盖 $\t M$，使得 ${\rm vol}(\t M,{\rm Iso}_e\t{\rm SL_2(\R)}) \ne \{0\}$。我们还发现了具有正单纯体积但 ${\rm vol}(M,{\rm Iso}_+{\Hi}^3)=\{0\}$ 的 3-流形 $M$，以及 ${\rm vol}(M,{\rm Iso}_e\t{\rm SL_2(\R)})=\{0\}$ 的非平凡图流形 $M$，从而证明通常需要过渡到某个有限覆盖才能保证 ${\rm vol}(M,G)\not=\{0\}$。此外，当 $M$ 支持 Seifert 几何时，我们确定了 ${\rm vol}\left(M, G \right)$。