球状Seifert流形上的Chern-Simons理论、拓扑弦与可积系统

我们考虑 Gopakumar-Ooguri-Vafa 对应，其将大 $N$ 下的 ${\rm U}(N)$ Chern-Simons 理论与拓扑弦相关联，置于球状 Seifert 三维流形的背景下。这些流形是三维球面在有限等距群自由作用下的商 $\mathbb{S}^{\Gamma} = \Gamma\backslash\mathbb{S}^3$。在弦论对偶的指导下，我们提出了一种大 $N$ 对偶描述，基于（一般为非环面的）局部 Calabi-Yau 三重上的 A-和 B-扭曲拓扑弦。B-模型理论的目标空间由 Toda 型可积系统的谱曲线得到，该系统构建于由 $\Gamma$ 的 ADE 标签所确定的单链群的双 Bruhat 胞上。其镜像 A-模型理论实现为 $\mathbb{P}^1$ 上合适 ALE 纤维化的局部 Gromov-Witten 理论，推广了已知透镜空间的结果。我们提出了与该对应相关的目标流形族的显式构造，并通过表达平凡平坦联络对 Chern-Simons 配分函数贡献的矩阵模型的大 $N$ 分析加以验证。在数学上，我们的结果提出了 $\mathbb{S}^\Gamma$ 的 $\mathrm{sl}_{N + 1}$ LMO 不变量的 $1/N$ 展开与 A-模型对偶 Calabi-Yau 上适当受限的 Gromov-Witten/Donaldson-Thomas 配分函数之间的等同。此 $1/N$ 展开，以及 $\mathbb{S}^\Gamma$ 中纤维结的微扰量子不变量合适生成级数的展开，由 Eynard-Orantin 拓扑递归计算。