Chern-Simons 理论与 3-流形的体积

我们给出了 Chern-Simons 规范理论在研究所有表示 $\rho\co\pi_1N\to G$ 的体积集合 ${\rm vol}(N,G)$ 中的一些应用，其中 $N$ 是闭定向 3-流形，$G$ 要么是 Seifert 几何的等距群 ${\rm Iso}_e\t{\rm SL_2(\R)}$，要么是双曲 3-空间保向等距群 ${\rm Iso}_+{\Hi}^3$。我们聚焦于三个自然问题：(1) 如何在 ${\rm vol}(N, G)$ 中找到非零值？或者较弱地，如何在 $N$ 的某个有限覆盖 $\t N$ 的 ${\rm vol}(\t N, G)$ 中找到非零元？(2) 这些体积是否满足 Thurston 意义下的覆盖性质？(3) ${\rm vol}(N, G)$ 的元素中蕴含了何种拓扑信息？当 $N$ 支持 Seifert 几何时，我们确定了 ${\rm vol}(N, G)$；对于某些具有非平凡几何分解的 3-流形，我们在 $G={\rm Iso}_+{\Hi}^3$ 或 ${\rm Iso}_e\t{\rm SL_2(\R)}$ 的情况下找到了 ${\rm vol}(N,G)$ 中的一些非零值。此外，我们将表明，与 Gromov 单纯体积不同，这些非零元携带了 $N$ 的几何块之间的粘合信息。对于一大类 3-流形 $N$（包括所有有理同伦 3-球面），我们证明了 $N$ 具有正 Gromov 单纯体积当且仅当它存在一个有限覆盖 $\t N$ 使得 ${\rm vol}(\t N,{\rm Iso}_+{\Hi}^3)\ne \{0\}$。另一方面，在此类流形中，存在一些 $N$ 具有正单纯体积但 ${\rm vol}(N,{\rm Iso}_+{\Hi}^3)=\{0\}$，从而对双曲体积的问题 (2) 给出了否定回答。