$\alpha$-R\'enyi 统计力学与机器学习

我们研究了经典 Ising 模型在所谓 $\alpha$-R\'enyi 集合中的统计物理。这是一种基于 $\alpha$-R\'enyi 熵修改自由能的有限温度热力学状态近似。我们首先在不同 R\'enyi 指数 $\alpha$ 的不同区间内，对其均场理论中的临界行为进行表征。随后，我们重新引入关联性，考虑该模型在一和二维情形下的行为，前者给出解析论证，后者构筑蒙特卡罗方法。惊人地发现，虽然均场理论在 $\alpha \sim 1.303$ 以下阈值处预测连续相变，在其上预测一次相变，但二维蒙特卡罗结果指向所有 $\alpha$ 处均为连续相变。我们通过在变分最小化 $\alpha$-R\'enyi 自由能时采用循环神经网络（RNN） ansatz，发现 RNN 在二维情形下与蒙特卡罗模拟相比较时表现良好。我们的工作凸显了 $\alpha$-R\'enyi 集合正式在探索经典和量子系统热力学平衡性质时所带来的机遇与局限。