无流体力学下 Doi-Onsager 方程的小 Deborah 数极限

我们研究向列相液晶动力学无流体力学 Doi-Onsager 方程的小 Deborah 数极限。这是一个 Smoluchowski 型方程，刻画了依赖于粒子位置 $x\in \mathbb{R}^d(d=2,3)$ 和取向向量 $m\in\mathbb{S}^2$（单位球面）的数密度函数的演化。我们证明，当 Deborah 数趋于零时，具有接近局部平衡的粗糙初值的解族将强收敛于由到 $\mathbb{S}^2$ 的调和映射热流的弱解所给定的局部平衡分布。该流是向列相液晶 Oseen-Frank 能量泛函梯度流的特殊情形。关键要素是证明数密度函数族的强紧性，证明依赖于相应二阶矩（或 $Q$-张量）的强紧性、极限局部平衡分布附近线性化算子的谱分解以及能量耗散估计。