稠密向列相液晶中的平衡态分析

本文致力于对Zheng等人最近提出的一个以取向分布函数为变量、描述稠密状态下向列相液晶的模型进行严格分析。该模型的一个关键特征是，在高密度状态下，所有非平凡极小化函数在一个正测度集上为零，因此通常不能围绕极小化函数取$L^\infty$变分。特别是，欧拉-拉格朗日方程是否良定义，以及局部极小化函数是否满足该方程，尚不清楚。本文将证明，存在一个欧拉-拉格朗日方程的类似形式，它被$L^p$局部极小化函数所满足。这是通过将极小化问题归约为一个等价的有限维鞍点问题来实现的，该归约基于观察到在定义域的某些子集上自由能泛函是凸的，从而可以应用对偶方法。随后证明，该欧拉-拉格朗日方程的类似形式等价于在一族特定的非线性曲线上的消失变分准则，自由能泛函在这些曲线上是足够光滑的。该有限维鞍点问题的所有临界点也对应于所有使这些非线性变分消失的概率分布。此外，该分析还提供了关于该模型某些定性相行为的结果。