尖点形式系数和的第二矩

设 $f$ 和 $g$ 为权重 $k$ 的全纯尖点形式，$S_f(n)$ 和 $S_g(n)$ 分别表示其前 $n$ 个傅里叶系数之和。Hafner 和 Ivic [HI] 在 Chandrasekharan 和 Narasimhan [CN] 工作的基础上，证明了 $\sum_{n \leq X} \lvert S_f(n) \rvert^2$ 的渐近式，并证明了经典猜想 $S_f(X) \ll X^{\frac{k-1}{2} + \frac{1}{4} + \epsilon}$ 在长区间平均意义下成立。本文引入并获得了 Dirichlet 级数 $D(s, S_f \times S_g) = \sum S_f(n)\overline{S_g(n)} n^{-(s+k-1)}$ 和 $D(s, S_f \times \overline{S_g}) = \sum_n S_f(n)S_g(n) n^{-(s + k - 1)}$ 的亚纯延拓。利用这些亚纯延拓，我们证明了平滑化第二矩和 $\sum S_f(n)\overline{S_g(n)} e^{-n/X}$ 的渐近式，从而推广了 [HI] 的平滑化结果。我们还获得了归一化傅里叶系数的类似平滑化第二矩和的渐近式，证明了 [CN] 中可得到结果的平滑化推广。我们的方法适用于多种权重和水平，与 [CN] 的比较表明，Rankin-Selberg $L$-函数 $L(s, f\times g)$ 与 $f$ 和 $g$ 系数的移位卷积和之间存在非常普遍的相消。在后续工作中，作者将应用本文的结果证明关于 $\lvert S_f(n) \rvert$ 的经典猜想在短区间上成立，并证明 $\{S_f(n)\}_{n \in \mathbb{N}}$ 的变号结果。