Maass 特殊 $L$-值均值的次主项

在本文中，我们发现了 Hecke--Maass 特殊 $L$-值 $L (1/2+it_f, f)$ 渐近公式中的一个次主项，其中均值是在 Laplace 特征值 $1/4 + t_f^2$（$t_f > 0$）的（偶或奇）Hecke--Maass 尖点形式正交基上对 $f (z)$ 取平均。具体而言，我们证明了对任意 $\varepsilon > 0$，有 $$\sum_{t_f \leqslant T} \omega_f L (1/2+it_f, f) = \frac {T^2} {\pi^2} + \frac {8T^{3/2}} {3\pi^{3/2} } + O \big(T^{1+\varepsilon}\big),$$ 其中 $\omega_f$ 是调和权重。这为 $L$-函数矩中的（大）次主项提供了一个新实例——此前仅在二次 Dirichlet $L$-函数的光滑化三次矩中已知此现象。该证明依赖于 $L (1/2+it_f, f)$ 光滑化均值的一个显式公式。