沿薄陪集的 Dirichlet $L$-函数的渐近二阶矩

我们证明了限制在陪集上的 Dirichlet $L$-函数中心值的二阶矩的渐近公式。更具体地说，考虑模 $q$ 的特征全群内部模 $d$ 的特征子群的陪集。假设对于整除 $q$ 的所有素数 $p$，有 $\nu_p(d) \geq \nu_p(q)/2$。在此范围内，我们得到了一个带有幂次节省误差项的渐近公式；令人好奇的是，这里存在一个粗略大小为 $q^{1/2}$ 的二次主项，这是 Conrey、Farmer、Keating、Rubinstein 和 Snaith 的积分矩猜想所未预测到的。这一低阶主项不出现在 Riemann Zeta 函数的二阶矩中，因此这一特征无法从类似的 Archimedes 矩问题中预期到。对于更小的 $d$，即 $\nu_p(q)/3 \leq \nu_p(d) \leq \nu_p(q)/2$，我们也获得了渐近结果，且对于大于 $q^{2/5}$ 的 $d$ 带有幂次节省误差项。在这个更困难的范围内，二次主项在形式上有所改变，其大小可能约为 $d$，仅比对角主项略小。