稀疏时间连续数据同化的次优途径：改进二维与三维 Navier-Stokes 方程的收敛速率

我们研究将稀疏时间观测植入 Azouani-Olson-Titi 数据同化算法的不同途径。我们提出一种新方法，引入一个独立于观测时间间隔的“数据同化窗口”。我们表明，通过使该窗口尽可能小，可在不损失稳定性的前提下大幅增强 nudging 参数强度。先前的方法使用旧数据来 nudging 解，直到做出新观测。相反，我们的方法在观测做出后几乎立即停止对系统的 nudging，使系统松弛到正确的物理状态。我们表明，这在我们三维 Navier-Stokes 模拟中带来了收敛时间的数量级改善。此外，我们的模拟表明，我们的方法以近乎与 Hayden、Olson 和 Titi（HOT）提出的低 Fourier 模直接替换这一理想化方法相同的速率收敛。然而，我们的方法可轻易适配非理想化设置，如有限元方法、有限差分方法等，因为无需访问 Fourier 模，我们的方法对一般插值子适用。正是在这个意义上，我们认为我们的方法是“次优的”；即“最优”方法将是如 HOT 中那样直接替换 Fourier 模，但该理想化方法在物理真实设置中通常不可行。尽管我们的方法收敛速率相较理想化方法略次优，但它与实际应用直接兼容。此外，我们解析地证明这些新算法全局适定，且随时间指数快速收敛到真解。另外，我们提供了 HOT 算法的首个三维计算验证。