从局部数据到全局恢复：物理域中二维纳维-斯托克斯方程的内部微调

在许多数据同化（DA）的实际应用中，观测器的策略性部署对于有效且高效的预测至关重要。受传感器部署实际约束的启发，我们证明，仅使用域的一个子区域（可能远离边界）中的观测数据，即可实现流场的全局恢复。我们专注于在具有狄利克雷边界条件的有界物理域中提出的二维不可压缩纳维-斯托克斯方程。基于Azouani、Olson和Titi（2014）的连续数据同化框架，我们严格证明，在微调参数、空间分辨率和观测区域几何形状的适当条件下，具体而言，当域内任意点到观测子区域的最大距离由一个常数倍的$\nu^{1/2}$（在标度意义上）界定，同化解会全局收敛到真实解。我们通过有限元方法在复杂几何体上进行的计算结果支持了理论发现，并揭示了实践中更强的鲁棒性。具体来说，即使观测子区域距离域的其他部分比理论阈值允许的更远，也能实现与真实解的同步。在所有三个测试场景中，局部微调算法的性能与全域同化相当，达到了机器精度的全局精度。有趣的是，边界附近的观测数据被发现很大程度上是无信息的。这表明完全可观测性并非必要：精心选择的内部观测，即使远离边界，也足以胜任。