4d $\mathcal{N}=2$ SCFT 的零范数指数

4d $\mathcal{N}=2$ 超共形场论(SCFT)的分类程序已充实, 利用其真空解 Coulomb 分支上的 Seiberg-Witten 几何; 理论按其 $\mathfrak{rank}$ 排序, 其中 $\mathfrak{rank}$ 为其 Coulomb 分支的复维数。另一种组织方案关注关联的顶算子代数(VOA), 其更密切相关于 Higgs 分支。从 VOA 角度出发, 一种自然的组织方式是按其“零范数指数”排列, 即最小整数 $\mathfrak{n}$ 使得 $T^\mathfrak{n} = 0$ 在 $C_2$ 代数中, 其中 $T$ 为 VOA 应力张量。根据 Higgs 分支重建猜想, $\mathfrak{n} < \infty$ 适用于任何 4d ${\cal N}=2$ SCFT。从若干实例推断, 我们推断 $\mathfrak{n}$ 是 RG 单调量, $\mathfrak{n}_{\rm IR} \leq \mathfrak{n}_{\rm UV}$。此外, 我们发现所有情况下都有 $\mathfrak{rank} \leq \mathfrak{n}-1$。因此, 按 $\mathfrak{n}$ 排序的理论比按 $\mathfrak{rank}$ 排序的理论更精细。例如, 在 $\mathfrak{rank}=1$ 理论列表中, Kodaira SCFT 和 $SU(2)$ ${\cal N}=4$ SYM 具有 $\mathfrak{n} =2$, 而所有其他理论都有 $\mathfrak{n} >2$。