从 SCFT 中的 VOA 到短星积

我们在 SCFT 中的两种代数结构之间架起桥梁：4d $\mathcal{N}=2$ 理论 Schur sector 中的 VOA 与 3d $\mathcal{N}=4$ Higgs sector 中的结合代数。自然设定是将 4d $\mathcal{N}=2$ SCFT 置于 $S^3\times S^1$ 上：通过将 $S^1$ 半径趋于零，我们恢复 3d $\mathcal{N}=4$ 理论，且环面上的相应 VOA 退化为圆上的结合代数。我们证明：1) Higgs 分支算符保留在 cohomology 中；2) 所有非 Higgs 类型的 Schur 算符被缠绕于 $S^1$ 上的线算符提升；3) 不增加新的上同调类。我们表明 3d 中的代数由商 $\mathcal{A}_H = {\rm Zhu}_{s}(V)/N$ 给出，其中 ${\rm Zhu}_{s}(V)$ 是 VOA $V$ 的非交换 Zhu 代数（对于 ${s}\in{\rm Aut}(V)$），而 $N$ 是某个理想。该理想是由环面 1 点函数在高温（或小复结构）极限下确定的（${s}$-扭曲）迹映射 $T_{s}: {\rm Zhu}_{s}(V) \to \mathbb{C}$ 的零空间。因此它赋予 $\mathcal{A}_H$ 一个非退化（扭曲）迹，依据 Etingof 与 Stryker 近期结果得到短星积。映射 $T_{s}$ 对酉 VOA 易于确定，但对我们关注的非酉且非 $C_2$-余有限 VOA 具有更微妙的结构。我们评论了与关于 Higgs 分支及相伴簇的 Beem-Rastelli 猜想的关系。一篇姊妹论文将探讨这些思想的更多细节、例子与某些应用。