Higgs 分支、Coulomb 分支与 Hall-Littlewood 指标

4维 $\mathcal{N}=2$ SCFT 的 Higgs 分支可通过 Higgs 分支的 Hilbert 级数来分析，或在特殊情况下通过计算 Hall-Littlewood 指标来分析。对于对应于亏格为零黎曼曲面的任意 class $\mathcal{S}$ 理论，它们被猜想为完全相同。我们给出若干族反例。我们发现，对于任意带有四个或更多 $\mathbb{Z}_2$-扭曲 puncture 的 class $\mathcal{S}$ 理论，它们并不吻合。我们为此类理论构造了 3 维镜像，并分析其 Coulomb 分支 Hilbert 级数以计算该 4 维理论的 Higgs 分支 Hilbert 级数。我们进一步利用扭曲 puncture 在 class $\mathcal{S}$ 中构造了 $a=c$ 理论，这些理论（包括 $\hat{D}_4(SU(2n+1))$ 理论）的 Hall–Littlewood 指标不同于 Higgs 分支的 Hilbert 级数。我们猜想，这对于所有具有非空 Higgs 分支的 $a=c$ 理论都成立，包括 $\mathcal{N}\ge 3$ SCFT。