库仑分支 Hilbert 级数与三维西西里理论

我们计算了三维西西里 (Sicilian) 理论镜像的库仑分支 Hilbert 级数，这些理论源于将具有对称性 $G$ 的 $6d$ $(2,0)$ 理论在圆乘以带 punctures 的黎曼面上进行紧致化。我们通过拼接构建块 $T_{\mathbf{\rho}}(G)$ 的 Hilbert 级数获得结果，其中 $\mathbf{\rho}$ 是与 $G$ 的对偶群相关的特定划分，我们在之前的论文中已对其进行了计算。结果用一类对称函数即 Hall-Littlewood 多项式表示。正如镜像对称所预期的，我们的结果在 genus zero 时与西西里理论 Higgs 分支 Hilbert 级数的超共形指数预测一致，并将其扩展至更高 genus。在 $A_1$ 情形且 genus zero 时，我们还计算了西西里理论本身的库仑分支 Hilbert 级数，表明其仅依赖于外部腿的数量。