${\cal W}(5,2)$ 的 $m$-卵形体

本文关注辛极化空间 ${\cal W}(2n+1, q)$（$q$ 为偶数）的 $m$-卵形体。特别地，我们证明了 ${\rm PG}(2n+1, q)$ 中一个不极化到 ${\cal W}(2n+1, q)$ 的椭圆二次曲面构成 ${\cal W}(2n+1, q)$ 的一个 $\left(\frac{q^n-1}{q-1}\right)$-卵形体。我们展示了 ${\cal W}(5, q)$ 的另一类 $(q+1)$-卵形体。它由两个同构于 ${\rm PSL}(2, q^2)$ 的 ${\rm PSp}(6, q)$ 子群的轨道粘合而得。我们还表明所获得的 $m$-卵形体不属于文献中迄今已知的任何例子。此外，获得了 ${\cal W}(5, 2)$ 的 $m$-卵形体的计算机分类。结果表明 ${\cal W}(5, 2)$ 有 $m$-卵形体当且仅当 $m = 3$，且恰有三个两两不同构的实例。第一个例子来自极化到 ${\cal W}(5, 2)$ 的椭圆二次曲面 ${\cal Q}^-(5, 2)$，而另两个是前述的 $3$-卵形体。