关于有限射影空间与极空间的线覆盖

有限射影空间${\rm PG}(r,q)$（有限极空间$\cal P$）的一条线的$m$-覆盖是指${\rm PG}(r,q)$（$\cal P$）的一组线$\cal L$，使得${\rm PG}(r,q)$（$\cal P$）的每一点包含$\cal L$中的$m$条线。将${\rm PG}(r,q)$嵌入${\rm PG}(r,q^2)$。令$\bar{\cal L}$表示${\rm PG}(r,q^2)$中位于$\cal L$的扩展线上的点的集合。若对${\rm PG}(r,q)$的一个$(r-2)$维空间中包含的$\cal L$的线数只有两种可能，则${\rm PG}(r,q)$的$m$-覆盖$\cal L$称为$(r-2)$维对偶$m$-覆盖。基于这一概念，我们刻画了满足$\bar{\cal L}$是${\rm PG}(r,q^2)$的一个双特征集的${\rm PG}(r,q)$的$m$-覆盖$\cal L$。特别地，我们证明若$\cal L$在${\rm PG}(r,q)$的Singer循环群下不变，则它是$(r-2)$维对偶$m$-覆盖。假设$\cal L$的线是辛极空间${\cal W}(r,q)$（抛物型正交极空间${\cal Q}(r,q)$）的线，类似于射影情形我们引入辛型（抛物型）$(r-2)$维对偶$m$-覆盖的概念。我们证明${\cal W}(r,q)$（${\cal Q}(r,q)$）的$m$-覆盖$\cal L$具有该对偶性质当且仅当$\bar{\cal L}$是Hermitian簇${\cal H}(r,q^2)$或${\cal W}(r,q^2)$（${\cal H}(r,q^2)$或${\cal Q}(r,q^2)$）的紧集。我们还给出了${\cal W}(4n-1,q)$的一些有趣的$(4n-3)$维对偶辛型$m$-覆盖的例子。