论 $PG(3,q)$ 的直线与二元四次型的 $PGL_2(q)$-轨道

我们研究将有限域 $GF(q)$ 上的射影 3-空间 $PG(3,q)$ 中的直线分类为三次挠线 $C$ 的线性对称群 $G=PGL(2,q)$ 的轨道的问题。一般直线既不与 $C$ 相交，也不位于其任何密切平面中。虽然非一般直线在文献中已被分类为 $G$-轨道，但将一般直线分类为 $G$-轨道一直是一个开放问题。对于特征不等于 $2$ 和 $3$ 的一般域 $F$，三次挠线在 $\mathbb P^3$ 上确定了一个辛极性。在 $\mathbb P^3$ 的直线的 Klein 表示中，$C$ 的切线由 $\mathbb P^3$ 的第二外幂 $\mathbb P^5$ 中的超平面 $\mathcal H$ 内的 4 次有理正规曲线表示。Atiyah 根据这两条曲线的几何性质研究了 $\mathbb P^3$ 中相对于 $C$ 的直线。$\mathbb P^3$ 上直线的极对偶对应于 $\mathbb P^5$ 上的 Hodge 对偶，而 $\mathcal H$ 是 $\mathbb P^5$ 的 Hodge 自对偶元素的超平面。我们证明，$\mathcal H$ 可以以 $PGL_2$-等变的方式与 $F$ 上的二元四次型空间等同起来，并且 $\mathbb P^3$ 上的极对偶直线对对应于其无极不变量为平方的二元四次型。我们首先解决了将 $GF(q)$ 上的二元四次型分类为 $G$-轨道的开放问题，然后利用它来解决主要问题。