PG(2,q)中二次曲线网的 combinatorial 不变量

射影平面中二次曲线线性系统的分类问题至少可追溯到Jordan，他在1906–1907年分类了复数域$\mathbb{C}$和实数域$\mathbb{R}$上的铅笔（一维系统）二次曲线。有限域$\mathbb{F}_q$（$q$为奇数）上的类似问题由Dickson于1908年解决。1914年，Wilson尝试分类奇特征有限域上的二次曲线网（二维系统），但其分类不完整且包含一些不准确之处。在近期文章中，我们完成了Wilson关于秩一二次曲线网（即包含一条重复直线的网）的分类。本文旨在引入并计算这些网的某些组合不变量，我们期望它们能在各类应用中发挥作用。我们的方法是几何的：将秩一网络视为$\text{PG}(5,q)$中与平面在Veronesean二次曲面至少交于一点；两个这样的网等价当且仅当对应平面在$\text{PGL}(3,q)$视为$\text{PGL}(6,q)$子群所诱导的作用下属于同一轨道。我们此前已确定了$\text{PG}(5,q)$中直线在该作用下的轨道，其对应于前述$\text{PG}(2,q)$中的铅笔二次曲线。本文的主要贡献是确定对应于秩一网的平面$\pi$的直线轨道分布，即$\pi$中属于各直线轨道的直线数量。结果表明，该不变量列表完全确定了$\pi$的轨道，我们将在后续工作中利用此事实开发计算给定秩一网轨道的高效算法。作为一个更直接的应用，我们还确定了$\text{PGL}(3,q)$中秩一网的稳定子，进而得到轨道大小。