线性矩阵束的秩分离同时相似轨道

本文解决了 Hadwin 与 Larson 于 2003 年提出猜想的双边版本，并给出了该猜想一般版本的反例。考虑线性矩阵束 $L=T_0+x_1T_1+\cdots+x_mT_m$ 在矩阵元组上的求值定义为 $L(X_1,\dots,X_m)=I\otimes T_0+X_1\otimes T_1+\cdots+X_m\otimes T_m$。本文证明了线性矩阵束的秩构成了矩阵元组同时相似的一组分离不变量。即，$n\times n$ 矩阵的 $m$-元组 $A$ 与 $B$ 同时相似，当且仅当对所有大小为 $mn$ 的线性矩阵束 $L$，$L(A)$ 与 $L(B)$ 的秩相等。该性质在辛相似、正交相似、酉相似以及一般线性群左右作用下的变体也一并建立。此外，由此推导出一种关于特殊线性群左右作用下矩阵元组轨道等价的多项式时间算法。