Hermitian 曲面的相对 $m$-覆盖是相对半系统

$PG(3,q^2)$ 中 Hermitian 曲面 $H(3,q^2)$ 的一个 $m$-覆盖是一个线集 $\mathcal{S}$，使得 $H(3,q^2)$ 的每个点恰好位于 $\mathcal{S}$ 的 $m$ 条线上，且 $0<m<q+1$。Segre (1965) 证明，若 $q$ 为奇数，则 $m=(q+1)/2$，并将这样的线集 $\mathcal{S}$ 称为半系统。Penttila 和 Williford (2011) 引入了相对半系统的概念：一个线集 $\mathcal{R}$ 属于 $H(3,q^2)$，$q$ 为偶数，与一个辛子几何 $W(3,q)$ 不相交，使得 $H(3,q^2)\setminus W(3,q)$ 的每个点恰好位于 $\mathcal{R}$ 的 $q/2$ 个元素上。本文通过引入 $H(3,q^2)$ 关于辛子几何的相对 $m$-覆盖，并证明 $m$ 必然为 $q/2$，提供了 Segre 结果的一个类比。