椭圆二次曲面的相对 $m$-卵形

设 ${\cal Q}^-(2n+1,q)$ 为 ${\rm PG}(2n+1,q)$ 的一个椭圆二次曲面。${\cal Q}^-(2n+1,q)$ 的相对 $m$-卵形（关于抛物截面 ${\cal Q} := {\cal Q}(2n,q) \subset {\cal Q}^-(2n+1,q)$）是 ${\cal Q}^-(2n+1,q)\setminus {\cal Q}$ 的一个点子集 $\cal R$，使得 ${\cal Q}^-(2n+1,q)$ 中不包含在 $\cal Q$ 内的每一个生成子与 $\cal R$ 恰好交于 $m$ 个点。在 ${\cal Q}^-(2n+1,q) \setminus {\cal Q}$ 中与其补集大小相同的相对 $m$-卵形称为相对半系统。我们证明 ${\cal Q}^-(2n+1,q)$ 的非平凡相对 $m$-卵形必然是相对半系统，从而迫使 $q$ 为偶数。此外，我们构造了 ${\cal Q}^-(4n+1,q)$（$n \ge 2$）的一个相对半系统无限族，其以 ${\rm PSp}(2n,q^2)$ 作为自同构群。最后，给出了若干应用。