Hermite 曲面的半系

我们提出了一种研究 $PG(3,q^2)$ 中 Hermite 曲面 $\mathcal{U}_3$ 的半系的新方法。基本思想是利用自然嵌入于 $\mathcal{U}_3$ 中的极大曲线来表示 $\mathcal{U}_3$ 的生成元集，从而使得关于极大曲线及其自同构群的结果可以给出半系存在的充分条件。在本文中，对于每个形如 $p=1+16n^2$（其中 $n$ 为整数）的素数 $p$，我们在 $PG(3,p^2)$ 中得到了一个半系。由于著名的可追溯至 1904 年的 Landau 猜想仍有待证明（或证伪），目前尚不清楚是否存在由这类素数组成的无穷序列。迄今为止已知的是，在 51000 以内仅有 $18$ 个具有此性质的素数，即 $17,257,401,577, 1297,1601, 3137, 7057,13457,14401,15377,24337,25601,30977,$ $32401,33857,41617,50177.$ 这类素数的稀缺性似乎印证了 $\mathcal{U}_3$ 的半系是罕见的对象。