偶数阶 $PG(3,q)$ 中的卵形纤维丛

我们证明，给定 $PG(3,q)$（其中 $q=2^n >2$）的点集被 $PG(3,q)$ 的卵形 $\{\theta_i\}^q_{i=0}$ 划分，且 $\ell$ 为 $PG(3,q)$ 中的一条直线（若 $\ell^\perp$ 表示 $\ell$ 相对于 $PG(3,q)$ 上辛形式的极线，该辛形式的各向同性线为 $\theta_0$ 的切线，则 $\ell$ 不切于 $\theta_0$），那么 $\ell$ 和 $\ell^\perp$ 分别切于不同于 $\theta_0$ 且互不相同的卵形 $\theta_j$ 和 $\theta_k$。这一结论利用了由上述 $\ell$ 和 $\ell^\perp$ 作为双曲二次曲面的双重对偶所生成的线性码的根具有余维数 $1$ 这一事实。