四元环上的码、Hermitian 格及其对应的 theta 函数

设 $K=Q(\sqrt{-\ell})$ 为一个虚二次域，其整数环为 $\O_K$，其中 $\ell$ 是一个满足 $\ell\equiv 3 \mod 4$ 的无平方因子整数，且 $C=[n, k]$ 是定义在 $\O_K/2\O_K$ 上的线性码。$C$ 的 $\ell$ 级 theta 函数 $\Th_{\L_{\ell} (C)}$ 定义在格 $\L_{\ell} (C):= \set {x \in \O_K^n : \rho_\ell (x) \in C}$ 上，其中 $\rho_{\ell}:\O_K \rightarrow \O_K/2\O_K$ 是自然投影。在本文中，我们证明：i) 对于任意满足 $\ell \leq \ell^\prime$ 的 $\ell, \ell^\prime$，$\Th_{\Lambda_\ell}(q)$ 和 $\Th_{\Lambda_{\ell^\prime}}(q)$ 在 $q^{\frac {\ell+1}{4}}$ 之前具有相同的系数；ii) 对于 $\ell \geq \frac {2(n+1)(n+2)}{n} -1$，$\Th_{\L_{\ell}} (C)$ 唯一确定码 $C$；iii) 对于 $\ell < \frac {2(n+1)(n+2)}{n} -1$，存在一个对应于 $\Th_{\La_\ell}(C)$ 的正维数对称化权枚举多项式族。