与自对偶晶格相关的theta函数的零点

我们研究与自对偶晶格$\Gamma_{4k}$相关的theta函数$\Theta_{\Gamma_{4k}}$的零点。我们的结果显示根据晶格奇偶性，零点呈现两种不同的行为:当$\Gamma_{4k}$为偶晶格时，我们证明其所有零点都位于基本域内的直线$\Re z =\frac{1}{2}$上，并证明零点关于直线$\Re z = \frac{1}{2}$上的显式概率度量进行均匀分布。然而，当$\Gamma_{4k}$为奇晶格时，$\Re z =\frac{1}{2}$线上没有零点，只有关于该直线的指数级接近。我们的论证依赖于将$\Theta_{\Gamma_{4k}}$表示为模块$\lambda$-函数的多项式。我们随后研究该多项式的零点，并利用$\lambda$的某些共形性质来获得我们的结论。