由二次型定义的循环码及相关曲线的重量分布

我们考虑与 $m$ 个变量的二次迹形式 $Q_R(x) = \operatorname{Tr}_{q^m/q}(xR(x))$ 相关联的循环码 $\mathcal{C}_\mathcal{L}$，该形式由 $\mathbb{F}_{q^m}$ 上的一族 $q$-线性化多项式 $R$ 构成的族 $\mathcal{L}$ 确定，并考虑三个相关码 $\mathcal{C}_{\mathcal{L},0}$、$\mathcal{C}_{\mathcal{L},1}$ 和 $\mathcal{C}_{\mathcal{L},2}$。当 $\mathcal{L}$ 为偶秩族时，我们根据族 $\mathcal{L}$ 中形式 $Q_R$ 的秩分布描述了所有这些码的重量谱，并且我们还计算了 $\mathcal{C}_\mathcal{L}$ 的完全重量枚举子。特别地，考虑族 $\mathcal{L} = \langle x^{q^\ell} \rangle$，其中 $\ell$ 为 $\mathbb{N}$ 中固定值，我们给出了 $\mathbb{F}_q$ 上四个参数化循环码族 $\mathcal{C}_\ell$、$\mathcal{C}_{\ell,0}$、$\mathcal{C}_{\ell,1}$ 和 $\mathcal{C}_{\ell,2}$ 的重量分布，其零点分别为 $\{ \alpha^{-(q^\ell+1)} \}$、$\{ 1,\, \alpha^{-(q^\ell+1)} \}$、$\{ \alpha^{-1},\,\alpha^{-(q^\ell+1)} \}$ 和 $\{ 1,\,\alpha^{-1},\,\alpha^{-(q^\ell+1)}\}$，其中 $q = p^s$，$p$ 为素数，$\alpha$ 为 $\mathbb{F}_{q^m}^*$ 的生成元，且 $m/(m,\ell)$ 为偶数。最后，我们给出了与多项式 $R \in \mathcal{L}$ 相关的 Artin-Schreier 曲线 $y^p-y = xR(x) + \beta x$（$p$ 为素数）达到最优的简单充要条件。进而我们在 $\mathcal{L} = \langle x^{p^\ell}\rangle$ 和 $\mathcal{L} = \langle x^{p^\ell}, x^{p^{3\ell}} \rangle$ 的情形下得到了若干极大和极小的此类曲线。