$(\Theta_n,sl_n)$-分次李代数 $(n=3,4)$

设 $\mathbb{F}$ 为特征零的域，$\mathfrak{g}$ 为具有根系 $\Delta$ 的非零有限维分裂半单李代数。设 $\Gamma$ 为包含 $\Delta$ 与 $\{0\}$ 的 $\mathfrak{g}$ 的有限整权集。沿用 [2,10]，若 $\mathbb{F}$ 上的李代数 $L$ 包含一个同构于 $\mathfrak{g}$ 的半单子代数，且 $L$ 作为 $\mathfrak{g}$-模是其权子空间 $L_{\alpha}$（$\alpha\in\Gamma$）的直和，并且 $L$ 由所有 $\alpha\ne0$ 的 $L_{\alpha}$ 作为李代数生成，则称 $L$ 为广义根系分次，或更确切地称为 $(\Gamma,\mathfrak{g})$-分次。设 $\mathfrak{g}\cong sl_{n}$ 且 $$\Theta_n = \{0,\pm\varepsilon_i \pm\varepsilon_j, \pm\varepsilon_i, \pm2\varepsilon_i \mid1 \leq i \neq j \leq n\}$$ 其中 $\{\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n\}$ 为自然 $sl_{n}$-模的权集。在 [9] 中，我们对 $n>4$ 的 $(\Theta_{n},sl_{n})$-分次李代数进行了分类。本文描述 $(\Theta_{n},sl_{n})$-分次李代数 $(n=3,4)$ 的乘法结构与坐标代数。在 $n=3$ 时，我们假设 $$[V(2\omega_{1})\otimes C,V(2\omega_{1})\otimes C]=[V(2\omega_{2})\otimes C',V(2\omega_{2})\otimes C']=0$$ 其中 $V(\omega)$ 为最高权 $\omega$ 的单 $\mathfrak{g}$-模，$C={\rm Hom_{\mathfrak{g}}}(V(2\omega_{1}),L)$ 且 $C'={\rm Hom_{\mathfrak{g}}}(V(2\omega_{2}),L)$。