稀 Temperley-Lieb 代数的主不可分解模

Temperley-Lieb 代数 $\text{TL}_n(\beta)$ 可定义为矩形图的集合，其垂直边各有 $n$ 个点，所有点通过不相交的弦两两连接，其乘法即为图的拼接。稀 Temperley-Lieb 代数 $\text{DTL}_n(\beta)$ 具有类似的图论定义，但现在边上的点可以保持无弦连接的自由状态。与 $\text{TL}_n$ 类似，稀 $\text{DTL}_n$ 依赖于参数 $\beta\in\mathbb C$，通常对于某个 $q\in\mathbb C^\times$ 给定为 $\beta=q+q^{-1}$。在统计物理中，该代数在稀圈模型的研究中起着核心作用。本文致力于构造其主不可分解模。首先给出基本定义和性质：$\text{DTL}_n$ 的维数、其分解为偶代数和奇代数、以及其通过 $n+1$ 个理想的滤过。接着引入标准模 $\text{U}_{n,k}$ 并描述其在限制和诱导下的行为。利用双线性形式（Gram 积）来识别其（唯一的）最大子模 $\text{D}_{n,k}$，随后证明该子模是不可约的或平凡的。接着指出 $\text{DTL}_n$ 是一个胞腔代数。这一事实使得能够识别完备的非同构不可约模集和投射不可分解模集。最后给出了 $\text{DTL}_n$ 作为其自身左模的结构，涵盖参数 $q$ 的所有取值，即 $q$ 为一般值和单位根的情况。