均匀拟阵的 Kazhdan-Lusztig 多项式

拟阵的 Kazhdan-Lusztig 多项式由 Elias、Proudfoot 和 Wakefield [{\it Adv. Math. 2016}] 引入。令 $U_{m,d}$ 表示在 $m+d$ 个元素集合上秩为 $d$ 的均匀拟阵。Gedeon、Proudfoot 和 Young [{\it J. Combin. Theory Ser. A, 2017}] 指出，他们可利用等变 Kazhdan-Lusztig 多项式推导出 $U_{m,d}$ 的 Kazhdan-Lusztig 多项式的显式公式。本文给出两种另取的显式公式，使我们能证明对于 $2\leq m\leq 15$ 及所有 $d$，$U_{m,d}$ 的 Kazhdan-Lusztig 多项式的实根性。$m=1$ 的情形先前已由 Gedeon、Proudfoot 和 Young [{\it S\'{e}m. Lothar. Combin. 2017}] 证明。我们进一步确定了所有 $U_{m,d}$ 的 $Z$-多项式，并证明了对于 $2\leq m\leq 15$ 及所有 $d$，$U_{m,d}$ 的 $Z$-多项式的实根性。我们的公式也使我们能在不使用等变 Kazhdan-Lusztig 多项式的情况下，给出 Gedeon、Proudfoot 和 Young 关于 $U_{m,d}$ 的 Kazhdan-Lusztig 多项式公式的另一种证明。