图的 k-数独数

设 $G=(V,E)$ 是秩为 $n$ 的图，染色数为 $\chi(G)$。设 $k \geq \chi(G)$ 且 $S \subseteq V$。设 $C_0$ 为诱导子图 $G[S]$ 的 $k$ 着色。若 $C_0$ 可以扩展为 $G$ 的 $k$ 着色，则称 $C_0$ 为可扩展着色；若 $C_0$ 唯一能扩展为 $G$ 的 $k$ 着色，则称 $C_0$ 为 $G$ 的 $k$ 数独着色。称为图 $G$ 的 $k$ 数独数的最小秩的此类诱导子图 $G[S]$。当 $k=\chi(G)$ 时，我们称图 $G$ 的 $k$ 数独数为数独数，记作 $sn(G)$。本文求得了若干二分图 $P_n$、$C_{2n}$、$K_{m,n}$、$B_{m,n}$ 和 $G \circ lK_1$（其中 $G$ 为二分图，$l \geq 1$）的 3-数独数。我们还获得了二分图 $G$ 的 $sn(G,3)$ 等于 $n$、$n-1$ 或 $n-2$ 的必要充分条件。此外，我们研究了图 $G$ 的 $k$ 数独数与其超图 $H$ 的数独数的关系。