图的数独数

我们引入一个受流行数独谜题启发的图着色新概念。设 $G=(V,E)$ 为阶 $n$、色数 $\chi(G)=k$ 的图，并设 $S\subseteq V$。令 $\mathscr C_0$ 为诱导子图 $G[S]$ 的一个 $k$-着色。若 $\mathscr C_0$ 可扩展为 $G$ 的一个 $k$-着色，则称该着色 $\mathscr C_0$ 为可扩展着色。若 $\mathscr C_0$ 能唯一扩展为 $G$ 的一个 $k$-着色，则称 $\mathscr C_0$ 为 $G$ 的数独着色。容许数独着色的此类诱导子图 $G[S]$ 的最小阶称为 $G$ 的数独数，记为 $sn(G)$。本文开启对该参数的研究。我们首先表明该参数与图的列表着色相关。在第 2 节中，给出了与色支配顶点、色数及顶点度相关的数独着色基本性质；特别地，我们获得了 $\mathscr C_0$ 唯一可扩展以及 $\mathscr C_0$ 为数独着色的必要条件。在第 3 节中，我们确定了若干图族的数独数；特别地，我们证明了连通图 $G$ 有 $sn(G)=1$ 当且仅当 $G$ 为二部图，从而每棵树 $T$ 有 $sn(T)=1$。此外，色数小的图其数独数可能任意大。可扩展着色与数独着色是为 $G$ 提供 $k$-着色的良好工具。