二面体群的 Harborth 常数

有限群 $G$ 的 Harborth 常数记为 $\gs(G)$，是使得以下条件成立的最小整数 $k$：对于 $A\subseteq G$ 且 $|A|=k$，存在 $B\subseteq A$ 且 $|B|=\exp(G)$，使得 $B$ 的元素可以重排为一个序列，其乘积等于 $G$ 的单位元 $1_G$。在阿贝尔群的情况下，Harborth 常数是一个被广泛研究的组合不变量。在本文中，我们考虑了该组合不变量在非阿贝尔群中的推广 $\gs(G)$，并证明如果 $G$ 是阶为 $2n$ 且 $n\ge 3$ 的二面体群，则当 $n$ 为偶数时 $\gs(G) = n + 2$，否则 $\gs(G) = 2n + 1$。