非单位 Pisot 替换的几何结构

设$\sigma$为一个非单位 Pisot 替换，$\alpha$为相关的 Pisot 数。已知可以将某些分形瓦片（即所谓的 Rauzy 分形）与$\sigma$关联起来。在我们的设定中，这些分形是有理数域$\mathbb{Q}(\alpha)$的 Adele 环$\mathbb{A}_{\mathbb{Q}(\alpha)}$中某个开子环的子集。我们提出了几种定义 Rauzy 分形的方法并讨论了它们之间的关系。特别是，我们将 Rauzy 分形视为特定记数系统的自然几何对象，根据$\sigma$的一维实现及其对偶（遵循 Arnoux 和 Ito 的精神）来定义它们，并将它们视为特定切割与投影方案的多分量模型集的对偶。我们还定义了适用于非单位 Pisot 替换的阶梯曲面。我们提供了与非单位 Pisot 替换相关的 Rauzy 分形的基本拓扑和几何性质，证明了它们的一些铺砌结果，并建立了它们与由$\sigma$的周期点定义的子移位、adic 变换以及域交换之间的联系。我们通过两个和三个字母替换的示例说明了我们的结果。