射影空间中八个点的几何：表示论、李理论、对偶性
代数几何
2014-02-26 v1
摘要
本文研究P¹中8个点的空间（GIT商空间）M_8的几何，以及P³中8个点的GIT商空间的Gale商空间N'_8。空间M_8自然嵌入P¹³，更准确地说，是S_8表示V_{4,4}的射影化。在P¹³中存在一个唯一的S_8-斜三次曲面C。M_8位于斜三次曲面C上这一事实是超椭圆曲线Thomae公式的推论，但不仅如此：M_8是C的奇异轨迹。这些构造给出了M_8的自由分解，并用于确定一般情形下P¹中n个点的GIT商空间的“单一”方程。空间N'_8自然嵌入P¹³，更准确地说，是PV_{2,2,2,2}。存在一个唯一的包含N'_8的斜五次曲面Q，并且N'_8是斜五次曲面Q的奇异轨迹。斜三次曲面C和斜五次曲面Q是射影对偶的。（特别地，它们惊人地奇异，即其对偶具有异常低的次数。）由对偶映射收缩的斜三次曲面上的除子是其割线簇Sec(M_8)，而收缩Sec(M_8) - - > N'_8通过二次曲面上的8个点的空间N_8进行分解。我们猜想，由对偶映射收缩的斜五次曲面上的除子是N'_8的四割线簇（四割线*直线*并集的闭包），并且五次曲面Q是三割线簇。由此得到的图像将6点情形中Segre三次三维簇与Igusa四次三维簇之间的经典对偶性进行了推广。我们注意到，存在许多几何上自然的簇，它们（相关于）异常奇异的三次超曲面的奇异轨迹。本文的部分内容曾出现在arXiv/0809.1233中。
引用
@article{arxiv.1103.5255,
title = {The geometry of eight points in projective space: Representation theory, Lie theory, dualities},
author = {Benjamin Howard and John Millson and Andrew Snowden and Ravi Vakil},
journal= {arXiv preprint arXiv:1103.5255},
year = {2014}
}
备注
31 pages, 4 figures