辛商奇点的双有理几何

对于有限子群$\Gamma\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$及$n\geq 1$，我们利用Nakajima箭图簇的GIT商变体来研究Kleinian奇点$\mathbb{C}^2/\Gamma$极小分解$S$上$n$点Hilbert概型的双有理几何。众所周知，$X:=\mathrm{Hilb}^{[n]}(S)$是辛奇点$\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$的射影crepant分解，其中$\Gamma_n=\Gamma\wr\mathfrak{S}_n$是圈积。我们证明$\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$的每个射影crepant分解都可实现为固定维数向量下$\theta$-稳定$\Pi$-模的精细模空间，其中$\Pi$是$\Gamma$的框预射影代数，$\theta$是泛型稳定性条件的选取。我们的方法利用从GIT的线性化映射，将$\theta$-稳定性条件空间中的穿壁与$X$在$\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$上的双有理变换联系起来。作为推论，我们完全描述了$X$在$\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$上的丰富锥与可动锥，并表明可动锥的Mori室分解由McKay对应关联到$\Gamma$的ADE根系之扩充Catalan超平面排列所决定。在附录中，我们表明由GIT商变体诱导的箭图簇态射是半小的，推广了Nakajima在箭图簇光滑情形下的结果。