三线性方程的通用结构

我们研究将 Hirota 双线性形式正式化推广到可积系统中的三线性结构。虽然双线性方程与 Grassmann 几何和 Plücker 关系相关联，但三线性方程指向涉及 tau 函数三个槽位耦合的更高代数结构。我们聚焦于轴对称的 Einstein 方程，指出当 Ernst 势函数以 tau 比形式书写时，非线性方程分解为包含所有二阶导数项的三次型子系统和四次型梯度包络。该三次型子系统被识别为 YTSF 类型三线性核。我们提出通用的三线性核判据，并将其应用于 Tomimatsu--Sato 解。特别地，我们展示 $\delta=3$ 解具有与 $\delta=2$ 情形相同的三线性核结构，并在常数因子范围内具有普适归一化。这些结果表明，三线性核代表了 Ernst 系统最高导数子系统的普适结构，为超越双线性层级体系的可积性提供了新的视角。