$\mathfrak{gl}(3)$ 多项式可积系统：三体/${\mathcal A}_2$ 椭圆 Calogero 模型的多重面相

我们证明了 Sokolov-Turbiner 在 [arXiv:1409.7439] 中引入的 $\mathfrak{gl}(3)$ 多项式可积系统等价于常磁场中的 $\mathfrak{gl}(3)$ 量子 Euler-Arnold 顶。其哈密顿量以及三阶积分均可用 $\mathfrak{gl}(3)$ 代数生成元重写。进而，所有这些 $\mathfrak{gl}(3)$ 生成元都可由 5 维 Heisenberg 代数 $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2}, I)$ 的泛包络代数的非线性元素表示，因此哈密顿量与积分是泛包络代数 $U_{\mathfrak{h}_5}$ 中的两个元素。本文使用了 $\mathfrak{h}_5$ Heisenberg 代数的四种不同表示：(I) 由两个实（复）变量上的微分算子表示，(II) 由均匀或指数格子上的有限差分算子表示。我们发现了泛包络代数 $U(\mathfrak{gl}(3))$ 中两个含 2 个参数的双线性与三线性元素（分别记为 $H$ 和 $I$），使得它们的李括号（对易子）可写为九个所谓伪迹——即 $U(\mathfrak{gl}(3))$ 的特殊双线性元素——的线性叠加，一旦将 $\mathfrak{gl}(3)$-代数生成元的表示用 $\mathfrak{h}_5(\hat{p}_{1,2},\hat{q}_{1,2},I)$-代数生成元写出，这些伪迹便消失。在此表示中全部九个伪迹消失，上述 $U(\mathfrak{gl}(3))$ 中的两个元素（称为哈密顿量 $H$ 与积分 $I$）对易（！）；特别地，若 $(\hat{p},\hat{q})$ 以标准坐标-动量表示写出，它们就成为三体椭圆 Calogero 模型的哈密顿量与积分。