$A_{2}/G_2$椭圆模型的准精确可解性：代数形式、$sl(3)/g^{(2)}$隐藏代数与多项式本征函数

$A_2$量子椭圆模型（三体 Calogero-Moser 椭圆模型）的势由通过 Weierstrass $\wp$函数定义的成对三体相互作用给出，且仅有一个耦合常数。我们找到了一组变量变换，即$A_2$椭圆不变量，使得势变为有理函数，而平坦空间度规及其关联矢量则是两个变量的多项式。研究表明，该模型具有隐藏的$sl(3)$代数——对于任意耦合常数，哈密顿量均为通用包络代数$U_{sl(3)}$的元素——因此，它等价于$sl(3)$-量子 Euler-Arnold 顶。我们显式构造了一个形式为具有多项式系数的三阶微分算子的积分，它也是$U_{sl(3)}$的元素。研究证明，存在一个离散的耦合常数序列，使得有限数量的多项式本征函数（直至一个非奇异规范因子）出现。$G_2$量子椭圆模型（三体 Wolfes 椭圆模型）的势由通过 Weierstrass $\wp$函数定义的成对和三体相互作用给出，具有两个耦合常数。我们找到了一组变量变换，即$G_2$椭圆不变量，使得势变为有理函数，而平坦空间度规及其关联矢量则是两个变量的多项式。研究表明，该模型具有隐藏的$g^{(2)}$代数。研究证明，存在一个离散的耦合常数族，使得有限数量的多项式本征函数（直至一个非奇异规范因子）出现。