由变量分离构造的三粒子 Calogero 模型的非等价量子化

我们沿着 Calogero 的经典工作，通过分离 Schrödinger 方程来量子化具有调和与反平方对势的一维三体问题，但允许角向与径向 Hamilton 算符的所有可能自伴边界条件。反平方耦合常数取为 $g=2\nu (\nu-1)$，其中 ${1/2} <\nu< {3/2}$，随后证明角向 Hamilton 算符容许一个由矩阵 $U\in U(2)$ 满足 $\sigma_1 U \sigma_1 = U$ 参数化的、与其势项 $9 \nu (\nu -1)/\sin^2 3\phi$ 的二面体 $D_6$ 对称性相容的 2-参数非等价量子化族。在所有情形中，我们描述了角向本征值的定性特征，并在 $D_6$ 对称性及其由粒子交换生成的 $S_3$ 子群下对本征态进行分类。角向本征值 $\lambda$ 通过势 $(\lambda -{1/4})/r^2$ 进入径向 Hamilton 算符，若 $\lambda <1$ 则在 $r=0$ 处容许一个 1-参数自伴边界条件族。对于 $0<\lambda<1$，我们对径向 Schrödinger 方程的分析与先前关于可能能谱的结果一致；而对于 $\lambda <0$，它表明能量无下界，从而将那些容许此类本征值的 $U$ 排除为物理上不允许的。可容许的自伴角向 Hamilton 算符包括例如显式可解并详尽给出的情形 $U=\pm {\bf 1}_2, \pm \sigma_1$。选择 $U=-{\bf 1}_2$ 重现了 Calogero 的量子化，而选择 $U=\sigma_1$ 时系统在 $\nu \to 1$ 极限下与谐振子光滑相连。