精确量子化练习

详细回顾了一维精确量子化的形式体系,并将其应用于半直线 $\{q>0\}$ 上三个具体薛定谔哈密顿量 $[-\d^2/\d q^2 + V(q)]^\pm$ 的谱研究,其中在 q=0 处具有狄利克雷(-)或诺伊曼(+)条件。重点置于关于奇异微扰参数的谱行列式与谱 zeta 函数的解析研究。我们首先讨论齐次势 $V(q)=q^N$ 当 $N \to +\infty$ 时与其(可解的) $N=\infty$ 极限(无限深方势阱)的对比:在谱量的正则与奇异行为之间建立了有用的区分;作为有限 N 性质的极限,揭示了方势阱谱函数之间的各种恒等式。第二个模型是四次非谐振荡子:详细显式分析其零能谱行列式 $\det(-\d^2/\d q^2 + q^4 + v q^2)^\pm$,揭示了许多特殊值、泰勒系数间的代数恒等式,以及与艾里型渐近 $v \to +\infty$ 性质耦合的四次型函数方程。第三项研究处理偶次度势 $V(q)=q^N+v q^{N/2-1}$:证明其零能谱行列式可以闭式计算,且以 v 为谱变量的广义特征值问题容许精确量子化公式,它们是谐振子情形(对应 N=2)的完美推广;这些结果可能反映了上述族中存在超对称势。