整数指标 $k$ 下的 Tremblay-Turbiner-Winternitz (TTW) 系统：积分多项式代数

一个具有整数指标 $k$ 的无限三参数超可积且精确可解的平面量子模型族，可采用极坐标分离变量，于 Journ Phys A 42 (2009) 242001 中被引入，文献中称为 TTW 系统。在本文中，我们猜想 TTW 系统的哈密顿量和两个积分具有隐藏代数 $g^{(k)}$——已在 $k=1,2,3,4$ 时验证——其有限维表示空间为不变子空间。已验证对于 $k=1,2,3,4$，哈密顿量 $H$、两个积分 $\mathcal{I}_{1,2}$ 及其交换子 $\mathcal{I}_{12} = [\mathcal{I}_1, \mathcal{I}_2]$ 是积分多项式代数的四个生成元：$[\mathcal{I}_1, \mathcal{I}_{12}] = P_{k+1}(H, \mathcal{I}_{1,2}, \mathcal{I}_{12})$，$[\mathcal{I}_2, \mathcal{I}_{12}] = Q_{k+1}(H, \mathcal{I}_{1,2}, \mathcal{I}_{12})$，其中 $P_{k+1}, Q_{k+1}$ 是关于 $H, \mathcal{I}_{1,2}, \mathcal{I}_{12}$ 的有序单项式的 $(k+1)$ 次多项式。这意味着积分多项式代数是 $g^{(k)}$ 的子代数。我们猜想这对所有整数 $k$ 都成立。