Erd\H{o}s-Faudree 问题与无孤立核心

1981 年，Erd\H{o}s 与 Faudree 提出是否存在一个由 $N$ 个顶点组成的图族 $G_N$，满足 $\Delta(G_N)<N-1$ 且 $\sri(G_N)=1$；以及是否存在一个由 $N$ 个顶点组成的图族 $G_N$，满足 $\Delta(G_N)<c$（其中 $c$ 为固定常数），从而导致 $\sri(G_N)\to 0$。我们首先证明，这两个问题的字面形式完全由孤立顶点控制：对于每个非空图 $G$，整个序列 $\bigl(\sr(tK_2,G)\bigr)_{t\ge 1}$ 仅取决于无孤立核心 $\core(G)$。因此，问题 1 在原字面形式下有正答案，而问题 2 在原字面形式下有负答案。随后我们探讨这两个问题背后的真正内涵。对于问题 1，我们研究连通图，证明完备的极限定理：对于每一个 $\alpha\in[0,1]$，存在一个由 $|V(G_N)|=N$ 组成的连通二分图族 $G_N$，满足 $\sri(G_N)\to\alpha$；特别是存在连通图满足 $\Delta(G_N)=N-2$ 且 $\sri(G_N)\to 1$。对于问题 2，我们证明了一个更强的正向结果：若 $\Delta(G_N)<c$（其中 $c$ 为固定常数），且 $G_N$ 的无孤立核心阶数趋于无穷，则 $\sri(G_N)\to 0$。特别是，每个连通的有界度数族都满足 $\sri(G_N)\to 0$。因此，原始的 Erd\H{o}s-Faudree 问题在其字面形式下得到解决，且连通与非连通行为背后的机制被精确地识别出来。