对称空间的膨胀指数映射

设 $(M, g)$ 是一个实解析 Kähler 流形。我们称从 $T_pM$ 的原点邻域 $W$ 到 $M$ 的光滑映射 $E_p:W\to M$ 为 $p$ 处的{\em 膨胀指数映射}，如果它满足 $$(d \E_p)_0=\id_{T_pM},$$ $$D_p(\E_p (v))=g_p(v, v), \forall v\in W,$$ 其中 $D_p$ 是 Calabi 在 $p$ 处的膨胀函数（当 $D_p$ 替换为从 $p$ 出发的测地距离平方 $d^2_p$ 时，通常的指数映射 $\exp_p$ 显然满足这些方程）。本文证明，对于非紧型 Hermitian 对称空间 $M$ 的每一点 $p$，存在一个全局定义的、以 $p$ 为中心的膨胀指数映射，它是一个微分同胚，并且由其到多圆盘上的限制唯一确定。类似的结果在 $M$ 的紧对偶 $M^*$ 的每一点的开稠密邻域中也成立。我们还给出了辛对偶映射在膨胀指数映射下的几何解释。作为我们分析的副产品，我们证明了辛对偶映射将 $M^*$ 的再生核拉回为 $M$ 的再生核。